Darwin Bernal

PROGRESIÓN ARITMÉTICA
DEFINICIÓN
Dados los números reales a 1 y d y los números enteros positivos n y k ( 1  k < n ) , entonces:
a 1 , a 2 , a 3 , .......... , a n
Es una progresión aritmética, si:
k ( a k + 1 – a k = d )
Donde d se denomina diferencia, generalmente.
Ejemplo: 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , 19 , es una progresión aritmética ( d = 3 ) .
PROPIEDADES
1 ) Si a t pertenece a la progresión aritmética: a 1 , a 2 , ........ , a n , entonces:
a t = a 1 + ( t – 1 ) d
Ejemplo: Si los números: 7 , 15 , 23 , ........... , 55 forman una progresión aritmética. Calcula el quinto término de ella.
Respuesta:
d = 15 – 7 = 8
a 5 = 7 + ( 5 – 1 ) × 8 = 39
2 ) Si a t y a r pertenecen a la progresión aritmética: a 1 , a 2 , ........ , a n , entonces:
a t – a r = ( t – r ) d
Ejemplo: Si la diferencia (d) de una progresión aritmética es 4 y su séptimo término es 10 . Calcula su tercer término.
Respuesta:
a 3 – a 7 = ( 3 – 7 ) × 4
a 3 – 10 = – 16
a 3 = 10 – 16 = – 6
3 ) Si a t , a r , a p y a q pertenecen a la progresión aritmética: a 1 , a 2 , ........ , a n , entonces:
a t + a r = a p + a q  t + r = p + q
Ejemplo: Si el segundo, quinto y décimo término de una progresión aritmética son respectivamente: 3 , 9 y 19. Calcula su séptimo término.
Respuesta:
a 7 + a 5 = a 2 + a 10
a 7 + 9 = 3 + 19
a 7 = 22 – 9 = 13
4 ) A excepción del primer y último término de una progresión aritmética, cada término de ella es media aritmética entre su antecesor y su sucesor
Ejemplo: En la progresión: 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 ; 17 es media aritmética de 13 y 21 .
5 ) La suma de los n términos ( S n ) de la progresión aritmética: a 1 , a 2 , ........ , a n , está dada por:

O bien:



an = 3• 2 n-1

3 Comprobar si los términos de la sucesión son cuadrados perfectos.
4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
22, 32, 42, 52, 62, 72, ...
Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante.
bn= 2 + (n - 1) • 1 = 2 + n -1 = n+1
Por lo que el término general es:
an= (n + 1)2

4 Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.
Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos an por (-1)n.
an= (-1)n (n + 1)2
Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos an por (-1)n-1.
4, -9, 16, -25, 36, -49, ...
an= (-1)n-1 (n + 1)2

5 Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión).
Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.
an= bn /c n


Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.


Término general de una progresión geométrica
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 • rn-1
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3• 2n-1 = 3• 2n • 2-1 = (3/2)• 2n
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak • rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 • rn-4
an = 24• 2n-4= (24/16)• 2n = (3/2) • 2n
Interpolación de términos en una progresión geométrica
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

3, 6, 12, 24 , 48.
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:


Producto de dos términos equidistantes
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.
ai . aj = a1 . an

a3 • an-2 = a2 • an-1 = ... = a1 • an
3, 6. 12, 24, 48, ...
48 • 3 = 6 • 24 = 12 • 12
144 = 144 =144
Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica

Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...