Como se ve que no hay mucha diferencia en sus trabajos. Se les envia una guia extraida de www.sectormatematica.cl para la proxima clase traer al menos 15 de ellos resueltos.
PROGRESIONES
1. Formar la progresión aritmética, dados:
a) a1 = 7; d = 5; n = 9
b) a1 = 74; d = -12; n = 8
c) an = 100; d = 15; n = 10
2. Determinar la diferencia en las progresiones siguientes:
a) 13; 20; 27; 34; ...
b) 68; 59; 50; 41; ...
c) 11/2; 33/4; 11; 51/4; ...
3. En una progresión aritmética, el séptimo término es 35 y el noveno 83. Calcular el octavo término y d.
4. En una P.A. el quinto término es 149/6 y el séptimo es 363/4. Calcular el sexto término y la razón.
5. Expresar el valor general del 4º y del 35º término de una P.A.
6. Calcular en las progresiones siguientes el término que se indica:
a) 9, 14, 19 ...; calcular el 16º término.
b) 15, 24, 33, ... calcular el 12º término.
c) 8, 20, 32, ...; calcular el 21º término.
7. Dados:
a) a1 = 12; d = 7; n = 15; calcular an
b) an = 153; d = 11; n = 14; calcular a1
c) a1 = 23; an = 131; n = 13; calcular d.
d) a1 = 15; an = 145; d = 10; calcular n.
8. La suma de los extremos de una progresión aritmética de 12 términos es 148 y el quinto término es 56. Calcular el 8º término.
9. a1 + an = 190; n = 11. Calcular el sexto término.
10. Calcular la suma de los términos de una P.A. dados:
a) a1 = 20; an = 185; n = 12.
b) a1 =15; n = 14; d = 9
c) a1 = 160; n = 14; d = -12.
d) n = 7 y el 4º término es 36.
11. Calcular el primer término de la progresión, dados:
a) an = 124; n = 24; d = 5.
b) S = 1029; an = 132; n= 14.
c) S = 1343; n = 17; d = 8.
d) S = 150; an = 55; d = 5
12. Calcular la diferencia, dados:
a) a1 = 24; an = 120; n = 17.
b) S = 880; a1 = 5; n = 11.
c) S = 2133; an = 34; n = 18.
13. Calcular el número de términos, dados:
a) a1 = 13; d = 10; an = 133.
b) a1 = 14; an = 120; S = 1005.
c) a1 = 20; d = 5; S = 1020.
d) S = 504 y el término equidistante de los extremos es 56.
14. Interpolar (intercalar) entre 27 y 87, tres términos de modo que resulte una P.A.
15. Interpolar 4 términos entre 24 y 84 de modo que resulte una P.A.
16. El término medio de una P.A. de 9 términos es 27. ¿Cuál es la suma de los 9 términos?
17. El quinto término de una P.A. de 16 términos es 44 y el 12º término es 100. Calcular S.
18. Dados:
a) S = 1395; d = 11 y n = 15. Calcular a1.
b) S = 988; a1 = 10; n = 13. Calcular d
c) S = 1040; a1 = 20; d = 6. Calcular n.
d) S = 896; n = 14; an – a1 = 104. Calcular a1, an y d.
e) S = 336, a1 = 50; d = -4. Calcular n y an
f) S = 960; a = 120; n = 16. Calcular d y an
19. Determinar una fórmula para calcular la suma de los n primeros números pares.
20. Determinar una fórmula para calcular la suma de los n primeros números impares.
21. El sexto término de una P.A. es 66 y el 13º es 136. Formar la progresión.
22. En una progresión aritmética, la suma del 4º término con el 12º es 116 y la del 9º término con el 15º término es 172. Calcular a1 y d.
23. El 14º término menos el 5º término de una P.A. es 54 y el 11º término es 79. Formar la progresión.
24. El producto del 5º término por el 2º, es 364 y la diferencia de estos términos es 15. Formar la progresión si a1 es positivo.
25. Hallar tres números en P.A. , cuya suma es 24 y su producto 440.
26. La suma de tres números en P.A. es 48 y la de sus cuadrados 800. Hallar los números.
27. Calcular los ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que forman una progresión aritmética.
28. Calcular los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que forman una P.A. cuya diferencia es 21.
29. La suma de tres números en P.A. es 18 y la de sus valores recíprocos es 11/18. Hallar los números.
30. La suma de tres números en P.A. es 180 y la diferencia entre el tercer número y el primero es 30. Hallar los números.
31. Formar la P.G. dados:
a) a1 = 4; r = 3; n = 5.
b) a1 = 3; r = -5; n = 4.
32. Calcular la razón en las progresiones siguientes:
a) 7, 21, 63, 189,...
b) 512, 128, 32, 8,...
c) a3b, a4b2,a5b3, a6b4, ...
33. Formar seis términos de una P.G., dados:
a) a1 = 2; r = 5
b) a1 = 7; r = 4.
c) a1 = 2916; r = 1/3
d) a1 = 256; q = ¾
34. El producto del 4º término de una P.G. por el 6º término es 5184. Calcular el 5º término.
35. El tercer término de una P.G. es 15 y el quinto es 735. ¿Cuál es el cuarto término?
36. Expresar el valor general del 4º y del 16º término de una P.G.
37. Calcular el 8º y el 12º término de la progresión 4, 8, 16, ...
38. Dados:
a) a1 = 8; r = 4; n = 7. Calcular an
b) an = 1458; r = 3; n = 6. Calcular a1.
c) an = 2500; a1 = 4; n = 5. Calcular r.
d) a1 = 5; r = 4; an = 20480. Calcular n.
39. Interpolar entre 7 y 567 tres términos, de modo que resulte una P.G.
40. Dados a1 = 5, r = 3; an = 1215. Calcular n,
41. Dados a1 = 9; an = 36864; n = 7. Calcular el cuarto término.
42. El producto del primer término por el octavo es 218700 y el tercer término es 90. Calcular el sexto término.
43. El octavo término es 384, el primero es 3 y el sexto es 96. Formar la P.G.
44. Calcular S dados:
a) a1 = 2; r = 3; n = 6.
b) a1 = 8; r = 5; n = 4
c) a1 = 1215; r = 1/3; n = 6
d) a1 = 4; r = 6; an = 31104.
e) A1 = 243; r = r = 3/8; n = 6.
45. Dados a1 = 8; r = 5; S = 31248. Calcular an y n.
46. Dados r = 2; n = 5; S = 93. Calcular a1 y n.
47. Dados a1 = 128; r = ½; n = 7. Calcular an y S.
48. Si r = 3; an = 13122 y S = 19680. Calcular a1 y n.
49. Formar una P.G. de cinco términos de modo que la razón sea igual a 1/3 del primer término y que la suma de los dos primeros términos sea 18.
50. Buscar cuatro números positivos en P.G. de modo que el cuarto número menos el tercero sea igual a 144 y el segundo menos el primero sea igual a 16.
51. La suma de tres números en P.G. es 186 y la diferencia de los términos extremos es 144. Hallar los números.
52. Calcular los ángulos de un cuadrilátero sabiendo que forman una P.G. y que el mayor es igual a 9 veces el segundo.
53. Formar una P.G. de tres términos cuyo producto sea 1728 y la suma 52.
54. El volumen de un paralelepípedo rectangular es 3375 cm3. Calcular las aristas, sabiendo que están en P.G. y que su suma es 65 cm.
55. En una P.G. de 7 términos, la suma de los tres primeros términos es 13 y la suma de los tres últimos es 1053. Formar la progresión.
56. Si en una P.G. de tres términos se resta 8 del segundo término, resulta una P.A. y si en ésta se resta 64 del tercer término, resulta nuevamente una P.G. Formar la progresión.
57. Una P.A. y otra P.G. de tres términos cada una, tienen el mismo primer término 4 y también el segundo término es el mismo. El tercer término de la P.G. es 25/16 del tercer término
jueves, 11 de marzo de 2010
Benjamin Castro
Benjamín Castro Jara
4º medio verde
PROGRESION ARITMETICA
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
Término general de una progresión aritmética
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) • d
8, 3, -2, -7, -12, ..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) • d
a4= -7 y d= -5
an = -7+ (n - 4) • (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
PROGRESION GEOMETRICA
Estas progresiones se definen como aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se conoce como razón.
El término general an de una progresión geométrica puede escribirse como:
an = a1 × rn-1
Término general de una progresión geométrica
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 • rn-1
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3• 2n-1 = 3• 2n • 2-1 = (3/2)• 2n
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak • rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 • rn-4
an = 24• 2n-4= (24/16)• 2n = (3/2) • 2n
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Producto de dos términos equidistantes
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.
ai . aj = a1 . an
a3 • an-2 = a2 • an-1 = ... = a1 • an
3, 6. 12, 24, 48, ...
48 • 3 = 6 • 24 = 12 • 12
144 = 144 =144
Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica
Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Interpolación de términos en una progresión geométrica
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
3, 6, 12, 24 , 48.
4º medio verde
PROGRESION ARITMETICA
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
Término general de una progresión aritmética
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) • d
8, 3, -2, -7, -12, ..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) • d
a4= -7 y d= -5
an = -7+ (n - 4) • (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
PROGRESION GEOMETRICA
Estas progresiones se definen como aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se conoce como razón.
El término general an de una progresión geométrica puede escribirse como:
an = a1 × rn-1
Término general de una progresión geométrica
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 • rn-1
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3• 2n-1 = 3• 2n • 2-1 = (3/2)• 2n
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak • rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 • rn-4
an = 24• 2n-4= (24/16)• 2n = (3/2) • 2n
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Producto de dos términos equidistantes
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.
ai . aj = a1 . an
a3 • an-2 = a2 • an-1 = ... = a1 • an
3, 6. 12, 24, 48, ...
48 • 3 = 6 • 24 = 12 • 12
144 = 144 =144
Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica
Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Interpolación de términos en una progresión geométrica
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
3, 6, 12, 24 , 48.
Javier Zambra
Progresiones
Progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
Término general de una progresión aritmética
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) • d
8, 3, -2, -7, -12, ..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) • d
a4= -7 y d= -5
an = -7+ (n - 4) • (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13
Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...
Progresión geométrica
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6/3 = 2
12/6 = 2
24/12 = 2
48/24 = 2
r= 2.
Término general de una progresión geométrica
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 • rn-1
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3• 2n-1 = 3• 2n • 2-1 = (3/2)• 2n
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak • rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 • rn-4
an = 24• 2n-4= (24/16)• 2n = (3/2) • 2n
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica
Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Interpolación de términos en una progresión geométrica
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
3, 6, 12, 24 , 48.
Javier Zambra
4to Matemático
Progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
Término general de una progresión aritmética
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) • d
8, 3, -2, -7, -12, ..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) • d
a4= -7 y d= -5
an = -7+ (n - 4) • (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13
Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...
Progresión geométrica
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6/3 = 2
12/6 = 2
24/12 = 2
48/24 = 2
r= 2.
Término general de una progresión geométrica
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 • rn-1
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3• 2n-1 = 3• 2n • 2-1 = (3/2)• 2n
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak • rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 • rn-4
an = 24• 2n-4= (24/16)• 2n = (3/2) • 2n
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica
Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Interpolación de términos en una progresión geométrica
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
3, 6, 12, 24 , 48.
Javier Zambra
4to Matemático
Rodrigo Alvarez
Rodrigo Alvarez
4º MATEMATICO
Progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
8, 3, -2, -7, -12,...
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
Término general de una progresión aritmética
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) • d
8, 3, -2, -7, -12, ..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) • d
a4= -7 y d= -5
an = -7+ (n - 4) • (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13
Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...
Progresión Geométrica
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6/3 = 2
12/6 = 2
24/12 = 2
48/24 = 2
r= 2.
Término general de una progresión geométrica
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 • rn-1
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3• 2n-1 = 3• 2n • 2-1 = (3/2)• 2n
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak • rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 • rn-4
an = 24• 2n-4= (24/16)• 2n = (3/2) • 2n
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Interpolación de términos en una progresión geométrica
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
3, 6, 12, 24 , 48.
4º MATEMATICO
Progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
8, 3, -2, -7, -12,...
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
Término general de una progresión aritmética
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) • d
8, 3, -2, -7, -12, ..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) • d
a4= -7 y d= -5
an = -7+ (n - 4) • (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13
Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...
Progresión Geométrica
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6/3 = 2
12/6 = 2
24/12 = 2
48/24 = 2
r= 2.
Término general de una progresión geométrica
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 • rn-1
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3• 2n-1 = 3• 2n • 2-1 = (3/2)• 2n
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak • rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 • rn-4
an = 24• 2n-4= (24/16)• 2n = (3/2) • 2n
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Interpolación de términos en una progresión geométrica
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
3, 6, 12, 24 , 48.
Javier Quinteros
Progresiones aritméticas y geométricas
Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.
Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión an , que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a1.
an = a1 + (n - 1) d.
Las sucesiones (por ejemplo, las progresiones aritméticas y geométricas) pueden verse como correspondencias unívocas entre el conjunto de los números naturales N y el de los reales R.
Término general de una progresión aritmética
Vamos a obtener una fórmula que permita calcular un término cualquiera de la progresión, conociendo el primer término, a1, y la diferencia, d.
a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d
...
an-1 = an-2 + d = (a1 + (n - 3) • d) + d = a1 + (n - 2) • d
an = an-1 + d = (a1 + (n - 2) • d) + d = a1 + (n - 1) • d
En toda progresión aritmética, un término cualquiera, an, es igual al primero, a1, más el producto de la diferencia, d, por el número de términos que le preceden, n - 1.
an + a1 + (n - 1) • d
SUMA DE n TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Cuando Gauss (matemático alemán del siglo XIX) estudiaba en la escuela, su maestro propuso a los alumnos calcular la suma de los cien primeros números, con objeto de que practicaran la suma de números enteros. La sorpresa del maestro fue que nada más terminar de enunciar el ejercicio Gauss le dio la solución:5.050.
11.- Supongamos que queremos sumar los diez primeros términos:.
Aumentando el paso_1 (1, 2, ...) se observa que los términos equidistantes suman lo mismo.
Prueba con otro número de términos (11, 12, ..., 100, ...) y comprueba que se sigue verficando.
Busca la expresión que permite obtener la suma de los n primeros términos. En el paso_2 puedes ver la solución.
En el paso_3 puedes ver la fórmula general.
PROGRESION GEOMETRICA
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6/3 = 2
12/6 = 2
24/12 = 2
48/24 = 2
r= 2.
Término general de una progresión geométrica.
Vamos a deducir el término general de una progresión geométrica:
1. Empezamos con el primer término:
a1= a1
2. Para obtener el segundo término,
Multiplicamos por r el primero: a2= a1 . r
3. Para obtener el tercer término,
Multiplicamos por r el segundo: a3= a2 . r = a1 . r . r = a1 . r2
4. Para obtener el cuarto término,
Multiplicamos por r el tercero: a4= a3 . r = a1 . r2 . r = a1 . r3 5. Para obtener el quinto término,
Multiplicamos por r el cuarto: a5= a4 . r = a1 . r3. r = a1 . r4
6. Luego, el término general será: an= a1 . rn-1
Ahora que conocemos la expresión del término general de una
progresión geométrica, podemos sustituir los valores de a1 y r.
En el ejemplo de los dobleces, a1 = 1, y r = 2. Por tanto:
an = a1 . rn - 1= 1 . 2n - 1 = 2n - 1
Una vez que tenemos el término general, podemos hallar cualquier
otro término de la progresión aritmética. Aquí tienes algunos
ejemplos:
a10 = 210 - 1 = 29 = 512 Término décimo: a10
a20 = 220 - 1 = 219 = 524 288 Término vigésimo: a20
a100 = 2100 - 1 = 299 Término centésimo: a100
Término general de una progresión geométrica
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 • rn-1
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3• 2n-1 = 3• 2n • 2-1 = (3/2)• 2n
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak • rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 • rn-4
an = 24• 2n-4= (24/16)• 2n = (3/2) • 2n
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Interpolación de términos en una progresión geométrica
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
3, 6, 12, 24 , 48.
Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.
Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión an , que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a1.
an = a1 + (n - 1) d.
Las sucesiones (por ejemplo, las progresiones aritméticas y geométricas) pueden verse como correspondencias unívocas entre el conjunto de los números naturales N y el de los reales R.
Término general de una progresión aritmética
Vamos a obtener una fórmula que permita calcular un término cualquiera de la progresión, conociendo el primer término, a1, y la diferencia, d.
a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d
...
an-1 = an-2 + d = (a1 + (n - 3) • d) + d = a1 + (n - 2) • d
an = an-1 + d = (a1 + (n - 2) • d) + d = a1 + (n - 1) • d
En toda progresión aritmética, un término cualquiera, an, es igual al primero, a1, más el producto de la diferencia, d, por el número de términos que le preceden, n - 1.
an + a1 + (n - 1) • d
SUMA DE n TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Cuando Gauss (matemático alemán del siglo XIX) estudiaba en la escuela, su maestro propuso a los alumnos calcular la suma de los cien primeros números, con objeto de que practicaran la suma de números enteros. La sorpresa del maestro fue que nada más terminar de enunciar el ejercicio Gauss le dio la solución:5.050.
11.- Supongamos que queremos sumar los diez primeros términos:.
Aumentando el paso_1 (1, 2, ...) se observa que los términos equidistantes suman lo mismo.
Prueba con otro número de términos (11, 12, ..., 100, ...) y comprueba que se sigue verficando.
Busca la expresión que permite obtener la suma de los n primeros términos. En el paso_2 puedes ver la solución.
En el paso_3 puedes ver la fórmula general.
PROGRESION GEOMETRICA
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6/3 = 2
12/6 = 2
24/12 = 2
48/24 = 2
r= 2.
Término general de una progresión geométrica.
Vamos a deducir el término general de una progresión geométrica:
1. Empezamos con el primer término:
a1= a1
2. Para obtener el segundo término,
Multiplicamos por r el primero: a2= a1 . r
3. Para obtener el tercer término,
Multiplicamos por r el segundo: a3= a2 . r = a1 . r . r = a1 . r2
4. Para obtener el cuarto término,
Multiplicamos por r el tercero: a4= a3 . r = a1 . r2 . r = a1 . r3 5. Para obtener el quinto término,
Multiplicamos por r el cuarto: a5= a4 . r = a1 . r3. r = a1 . r4
6. Luego, el término general será: an= a1 . rn-1
Ahora que conocemos la expresión del término general de una
progresión geométrica, podemos sustituir los valores de a1 y r.
En el ejemplo de los dobleces, a1 = 1, y r = 2. Por tanto:
an = a1 . rn - 1= 1 . 2n - 1 = 2n - 1
Una vez que tenemos el término general, podemos hallar cualquier
otro término de la progresión aritmética. Aquí tienes algunos
ejemplos:
a10 = 210 - 1 = 29 = 512 Término décimo: a10
a20 = 220 - 1 = 219 = 524 288 Término vigésimo: a20
a100 = 2100 - 1 = 299 Término centésimo: a100
Término general de una progresión geométrica
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 • rn-1
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3• 2n-1 = 3• 2n • 2-1 = (3/2)• 2n
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak • rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 • rn-4
an = 24• 2n-4= (24/16)• 2n = (3/2) • 2n
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Interpolación de términos en una progresión geométrica
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
3, 6, 12, 24 , 48.
Daniel Capone
autor: Daniel Capone
progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
Término general de una progresión aritmética
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) • d
8, 3, -2, -7, -12, ..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) • d
a4= -7 y d= -5
an = -7+ (n - 4) • (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13
Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.
ai + aj = a1 + an
a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)
-4 = -4 = -4
Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...
progresión aritmética
Término general de una progresión aritmética
an = a1 + (n - 1) • d
an = ak + (n - k) • d
nterpolación de términos
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Suma de términos equidistantes
ai + aj = a1 + an
a3 + an-2 = a2 + an-1 = a1 + an
Suma de n términos consecutivos
Progresiones geométricas
Término general de una progresión geométrica
an = a1 • rn-1
an = ak • rn-k
Interpolación de términos
Suma de n términos consecutivos
Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente
Producto de dos términos equidistantes
ai . aj = a1 . an
a3 • an-2 = a2 • an-1 = ... = a1 • an
Producto de n términos equidistantes
progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
Término general de una progresión aritmética
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) • d
8, 3, -2, -7, -12, ..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) • d
a4= -7 y d= -5
an = -7+ (n - 4) • (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13
Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.
ai + aj = a1 + an
a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)
-4 = -4 = -4
Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...
progresión aritmética
Término general de una progresión aritmética
an = a1 + (n - 1) • d
an = ak + (n - k) • d
nterpolación de términos
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Suma de términos equidistantes
ai + aj = a1 + an
a3 + an-2 = a2 + an-1 = a1 + an
Suma de n términos consecutivos
Progresiones geométricas
Término general de una progresión geométrica
an = a1 • rn-1
an = ak • rn-k
Interpolación de términos
Suma de n términos consecutivos
Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente
Producto de dos términos equidistantes
ai . aj = a1 . an
a3 • an-2 = a2 • an-1 = ... = a1 • an
Producto de n términos equidistantes
Sara Salinas
I. Progresiones
1. Progresión aritmética: Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
• 8, 3, -2, -7, -12, ...
• 3 - 8 = -5
• -2 - 3 = -5
• -7 - (-2) = -5
• -12 - (-7) = -5
• d= -5.
2. Términos generales de una progresión aritmética: El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término anterior. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión.
Fórmula del término general de una progresion aritmetica: (d=diferencia)
3. Suma de n primeros términos de una progresión aritmética: En la progresión aritmética 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35... consideramos sus 8 primeros términos.
Observamos que la suma de los términos equidistantes de los extremos es siempre igual a la suma de los extremos:
a1 + a8 = a2 + a7 = a3 + a6 = a4 + a5...
Consideramos la suma de los 8 primeros términos, que llamaremos S8:
S8 = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + a8
Escribimos esa suma cambiando el orden:
S8 = a8 + a7 + ... + a3 + a2 + a1
Sumamos ambas expresiones, término a término, y obtenemos:
2S8 = (a1 + a8) + (a2 + a7) + ... + (a8 + a1)
Los resultados de todos los paréntesis son iguales a (a1 + a8) y tenemos 8 sumandos; es decir:
2S8 = (a1 + a8) • 8
S 8 = a 1 + a 8 2 • 8
Generalizado para la suma de n términos:
4. Progresión geométrica: Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6/3 = 2
12/6 = 2
24/12 = 2
48/24 = 2
r= 2.
5. Término general de una progresión geométrica: http://miwikideaula.wikispaces.com/file/view/T%C3%A9rmino+general+de+una+progresi%C3%B3n+geom%C3%A9trica.pdf
1. Progresión aritmética: Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
• 8, 3, -2, -7, -12, ...
• 3 - 8 = -5
• -2 - 3 = -5
• -7 - (-2) = -5
• -12 - (-7) = -5
• d= -5.
2. Términos generales de una progresión aritmética: El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término anterior. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión.
Fórmula del término general de una progresion aritmetica: (d=diferencia)
3. Suma de n primeros términos de una progresión aritmética: En la progresión aritmética 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35... consideramos sus 8 primeros términos.
Observamos que la suma de los términos equidistantes de los extremos es siempre igual a la suma de los extremos:
a1 + a8 = a2 + a7 = a3 + a6 = a4 + a5...
Consideramos la suma de los 8 primeros términos, que llamaremos S8:
S8 = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + a8
Escribimos esa suma cambiando el orden:
S8 = a8 + a7 + ... + a3 + a2 + a1
Sumamos ambas expresiones, término a término, y obtenemos:
2S8 = (a1 + a8) + (a2 + a7) + ... + (a8 + a1)
Los resultados de todos los paréntesis son iguales a (a1 + a8) y tenemos 8 sumandos; es decir:
2S8 = (a1 + a8) • 8
S 8 = a 1 + a 8 2 • 8
Generalizado para la suma de n términos:
4. Progresión geométrica: Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6/3 = 2
12/6 = 2
24/12 = 2
48/24 = 2
r= 2.
5. Término general de una progresión geométrica: http://miwikideaula.wikispaces.com/file/view/T%C3%A9rmino+general+de+una+progresi%C3%B3n+geom%C3%A9trica.pdf
Darwin Bernal
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
DEFINICIÓN
Dados los números reales a 1 y d y los números enteros positivos n y k ( 1 k < n ) , entonces:
a 1 , a 2 , a 3 , .......... , a n
Es una progresión aritmética, si:
k ( a k + 1 – a k = d )
Donde d se denomina diferencia, generalmente.
Ejemplo: 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , 19 , es una progresión aritmética ( d = 3 ) .
PROPIEDADES
1 ) Si a t pertenece a la progresión aritmética: a 1 , a 2 , ........ , a n , entonces:
a t = a 1 + ( t – 1 ) d
Ejemplo: Si los números: 7 , 15 , 23 , ........... , 55 forman una progresión aritmética. Calcula el quinto término de ella.
Respuesta:
d = 15 – 7 = 8
a 5 = 7 + ( 5 – 1 ) × 8 = 39
2 ) Si a t y a r pertenecen a la progresión aritmética: a 1 , a 2 , ........ , a n , entonces:
a t – a r = ( t – r ) d
Ejemplo: Si la diferencia (d) de una progresión aritmética es 4 y su séptimo término es 10 . Calcula su tercer término.
Respuesta:
a 3 – a 7 = ( 3 – 7 ) × 4
a 3 – 10 = – 16
a 3 = 10 – 16 = – 6
3 ) Si a t , a r , a p y a q pertenecen a la progresión aritmética: a 1 , a 2 , ........ , a n , entonces:
a t + a r = a p + a q t + r = p + q
Ejemplo: Si el segundo, quinto y décimo término de una progresión aritmética son respectivamente: 3 , 9 y 19. Calcula su séptimo término.
Respuesta:
a 7 + a 5 = a 2 + a 10
a 7 + 9 = 3 + 19
a 7 = 22 – 9 = 13
4 ) A excepción del primer y último término de una progresión aritmética, cada término de ella es media aritmética entre su antecesor y su sucesor
Ejemplo: En la progresión: 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 ; 17 es media aritmética de 13 y 21 .
5 ) La suma de los n términos ( S n ) de la progresión aritmética: a 1 , a 2 , ........ , a n , está dada por:
O bien:
an = 3• 2 n-1
3 Comprobar si los términos de la sucesión son cuadrados perfectos.
4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
22, 32, 42, 52, 62, 72, ...
Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante.
bn= 2 + (n - 1) • 1 = 2 + n -1 = n+1
Por lo que el término general es:
an= (n + 1)2
4 Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.
Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos an por (-1)n.
an= (-1)n (n + 1)2
Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos an por (-1)n-1.
4, -9, 16, -25, 36, -49, ...
an= (-1)n-1 (n + 1)2
5 Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión).
Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.
an= bn /c n
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Término general de una progresión geométrica
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 • rn-1
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3• 2n-1 = 3• 2n • 2-1 = (3/2)• 2n
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak • rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 • rn-4
an = 24• 2n-4= (24/16)• 2n = (3/2) • 2n
Interpolación de términos en una progresión geométrica
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
3, 6, 12, 24 , 48.
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente
Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:
Producto de dos términos equidistantes
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.
ai . aj = a1 . an
a3 • an-2 = a2 • an-1 = ... = a1 • an
3, 6. 12, 24, 48, ...
48 • 3 = 6 • 24 = 12 • 12
144 = 144 =144
Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica
Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
DEFINICIÓN
Dados los números reales a 1 y d y los números enteros positivos n y k ( 1 k < n ) , entonces:
a 1 , a 2 , a 3 , .......... , a n
Es una progresión aritmética, si:
k ( a k + 1 – a k = d )
Donde d se denomina diferencia, generalmente.
Ejemplo: 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , 19 , es una progresión aritmética ( d = 3 ) .
PROPIEDADES
1 ) Si a t pertenece a la progresión aritmética: a 1 , a 2 , ........ , a n , entonces:
a t = a 1 + ( t – 1 ) d
Ejemplo: Si los números: 7 , 15 , 23 , ........... , 55 forman una progresión aritmética. Calcula el quinto término de ella.
Respuesta:
d = 15 – 7 = 8
a 5 = 7 + ( 5 – 1 ) × 8 = 39
2 ) Si a t y a r pertenecen a la progresión aritmética: a 1 , a 2 , ........ , a n , entonces:
a t – a r = ( t – r ) d
Ejemplo: Si la diferencia (d) de una progresión aritmética es 4 y su séptimo término es 10 . Calcula su tercer término.
Respuesta:
a 3 – a 7 = ( 3 – 7 ) × 4
a 3 – 10 = – 16
a 3 = 10 – 16 = – 6
3 ) Si a t , a r , a p y a q pertenecen a la progresión aritmética: a 1 , a 2 , ........ , a n , entonces:
a t + a r = a p + a q t + r = p + q
Ejemplo: Si el segundo, quinto y décimo término de una progresión aritmética son respectivamente: 3 , 9 y 19. Calcula su séptimo término.
Respuesta:
a 7 + a 5 = a 2 + a 10
a 7 + 9 = 3 + 19
a 7 = 22 – 9 = 13
4 ) A excepción del primer y último término de una progresión aritmética, cada término de ella es media aritmética entre su antecesor y su sucesor
Ejemplo: En la progresión: 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 ; 17 es media aritmética de 13 y 21 .
5 ) La suma de los n términos ( S n ) de la progresión aritmética: a 1 , a 2 , ........ , a n , está dada por:
O bien:
an = 3• 2 n-1
3 Comprobar si los términos de la sucesión son cuadrados perfectos.
4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
22, 32, 42, 52, 62, 72, ...
Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante.
bn= 2 + (n - 1) • 1 = 2 + n -1 = n+1
Por lo que el término general es:
an= (n + 1)2
4 Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.
Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos an por (-1)n.
an= (-1)n (n + 1)2
Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos an por (-1)n-1.
4, -9, 16, -25, 36, -49, ...
an= (-1)n-1 (n + 1)2
5 Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión).
Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.
an= bn /c n
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Término general de una progresión geométrica
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 • rn-1
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3• 2n-1 = 3• 2n • 2-1 = (3/2)• 2n
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak • rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 • rn-4
an = 24• 2n-4= (24/16)• 2n = (3/2) • 2n
Interpolación de términos en una progresión geométrica
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
3, 6, 12, 24 , 48.
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente
Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:
Producto de dos términos equidistantes
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.
ai . aj = a1 . an
a3 • an-2 = a2 • an-1 = ... = a1 • an
3, 6. 12, 24, 48, ...
48 • 3 = 6 • 24 = 12 • 12
144 = 144 =144
Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica
Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Suscribirse a:
Entradas (Atom)