Javier Quinteros

Progresiones aritméticas y geométricas
Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.
Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión an , que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a1.
an = a1 + (n - 1) d.

Las sucesiones (por ejemplo, las progresiones aritméticas y geométricas) pueden verse como correspondencias unívocas entre el conjunto de los números naturales N y el de los reales R.
Término general de una progresión aritmética
Vamos a obtener una fórmula que permita calcular un término cualquiera de la progresión, conociendo el primer término, a1, y la diferencia, d.
a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d
...
an-1 = an-2 + d = (a1 + (n - 3) • d) + d = a1 + (n - 2) • d
an = an-1 + d = (a1 + (n - 2) • d) + d = a1 + (n - 1) • d
En toda progresión aritmética, un término cualquiera, an, es igual al primero, a1, más el producto de la diferencia, d, por el número de términos que le preceden, n - 1.
an + a1 + (n - 1) • d
SUMA DE n TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Cuando Gauss (matemático alemán del siglo XIX) estudiaba en la escuela, su maestro propuso a los alumnos calcular la suma de los cien primeros números, con objeto de que practicaran la suma de números enteros. La sorpresa del maestro fue que nada más terminar de enunciar el ejercicio Gauss le dio la solución:5.050.
11.- Supongamos que queremos sumar los diez primeros términos:.
Aumentando el paso_1 (1, 2, ...) se observa que los términos equidistantes suman lo mismo.
Prueba con otro número de términos (11, 12, ..., 100, ...) y comprueba que se sigue verficando.
Busca la expresión que permite obtener la suma de los n primeros términos. En el paso_2 puedes ver la solución.
En el paso_3 puedes ver la fórmula general.
PROGRESION GEOMETRICA
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.

Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6/3 = 2
12/6 = 2
24/12 = 2
48/24 = 2
r= 2.

Término general de una progresión geométrica.

Vamos a deducir el término general de una progresión geométrica:



1. Empezamos con el primer término:
a1= a1
2. Para obtener el segundo término,
Multiplicamos por r el primero: a2= a1 . r
3. Para obtener el tercer término,
Multiplicamos por r el segundo: a3= a2 . r = a1 . r . r = a1 . r2
4. Para obtener el cuarto término,
Multiplicamos por r el tercero: a4= a3 . r = a1 . r2 . r = a1 . r3 5. Para obtener el quinto término,
Multiplicamos por r el cuarto: a5= a4 . r = a1 . r3. r = a1 . r4
6. Luego, el término general será: an= a1 . rn-1



Ahora que conocemos la expresión del término general de una
progresión geométrica, podemos sustituir los valores de a1 y r.

En el ejemplo de los dobleces, a1 = 1, y r = 2. Por tanto:

an = a1 . rn - 1= 1 . 2n - 1 = 2n - 1

Una vez que tenemos el término general, podemos hallar cualquier
otro término de la progresión aritmética. Aquí tienes algunos

ejemplos:

a10 = 210 - 1 = 29 = 512 Término décimo: a10

a20 = 220 - 1 = 219 = 524 288 Término vigésimo: a20
a100 = 2100 - 1 = 299 Término centésimo: a100
Término general de una progresión geométrica
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 • rn-1
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3• 2n-1 = 3• 2n • 2-1 = (3/2)• 2n
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak • rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 • rn-4
an = 24• 2n-4= (24/16)• 2n = (3/2) • 2n
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Interpolación de términos en una progresión geométrica
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

3, 6, 12, 24 , 48.